Răspuns:
[tex]sin A = \frac{AD*BC}{AB*AC}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Nu putem vorbi despre funcțiile trigonometrice decât într-un triunghi dreptunghic.
Din desen se vede că AD⊥BC, deci avem două triunghiuri dreptunghice: ADB și ADC.
conform definițiilor, [tex]sinus = \frac{cateta opusa}{ipotenuza}[/tex] și [tex]cosinus = \frac{cateta alaturata}{ipotenuza}[/tex]
∡A = ∡BAD + ∡CAD
Pentru ușurința scrierii, notăm ∡BAD = x iar ∡CAD = y
Așadar A = x+y
sin A = sin (x+y) = sin x · cos y + sin y · cos x (asta e formula - vezi manualul)
[tex]sin x = \frac{BD}{AB}[/tex] (conform formulei pentru sinus în triunghiul ADB)
[tex]cos y = \frac{AD}{AC}[/tex] (conform formulei pentru cosinusîn triunghiul ADC)
[tex]sin y = \frac{CD}{AC}[/tex] (conform formulei pentru sinus în triunghiul ADC)
[tex]cos x = \frac{AD}{AB}[/tex] (conform formulei pentru cosinus în triunghiul ADB)
[tex]sin (x+y) = \frac{BD}{AB} * \frac{AD}{AC} + \frac{CD}{AC} * \frac{AD}{AB}[/tex]
[tex]sin (x+y) = \frac{BD*AD + CD*AD}{AB*AC} = \frac{AD(BD+CD)}{AB*AC} = \frac{AD*BC}{AB*AC}[/tex]
