Notăm gcd(a+b,ab)=d, d∈N, în mod evident va exista un număr prim p astfel încât p|d, dar d|(a+b) și d|ab ⇒ p|(a+b) și p|ab, dar din p|ab ⇒ p|a sau p|b.
WLOG analizăm doar p|a, cazul p|b tratându-se în mod analog.
Dar p|(a+b), și cum p|a ⇒ p|b, contradicție cu gcd(a,b)=1, deci gcd(a+b,ab)=1.
Similar pentru gcd(a-b,ab)=1.
Notând gcd(a-b,ab)=d', d'∈N, în mod evident va exista un număr prim q astfel încât q|d, dar d'|(a-b) și d'|ab ⇒ q|(a-b) și q|ab, dar din q|ab ⇒ q|a sau q|b.
WLOG analizăm doar q|a, cazul q|b tratându-se în mod analog.
Dar q|(a-b), și cum q|a ⇒ q|b, contradicție cu gcd(a,b)=1, deci gcd(a-b,ab)=1.
Extra : Am notat gcd(x,y)=cmmdc(x,y).
