Răspuns:
Explicație pas cu pas:
m(∠AOAₙ)=m(∠AOA₁)+m(∠A₁OA₂)+m(∠A₂OA₃)+...+m(∠Aₙ₋₁OAₙ)=
=1+3+5+...+x, unde x este termenul general al progresiei aritmetice cu primul termen 1 și rația r=2. Atunci, x=1+(n-1)·2=1+2n-2, deci x=2n-1, unde n este numărul de termeni.
Atunci, 1+3+5+...+(2n-1)=(1+2n-1)·n/2=n².
Atunci m(∠AOAi)=i², iar m(∠BOBj)=j²
Pentru ca [OAi să coincidă cu [OBj , e necesar ca m(∠AOAi)+m(∠BOBj)=180°, deci i²+j²=180, unde i,j∈N
Soluții sunt perechile (6, 12) și (12, 6), deoarece 6²+12²=36+144=180=12²+6².
Răspuns: (i,j)∈{(6, 12); (12, 6)}.
3) Pentru ca [OAi ⊥ [OBj e necesar ca m(∠AOAi)+m(∠BOBj)=90°, și astfel m(∠AiOBj)=90°. ⇒ i²+j²=90. Soluții naturale sunt perechile (3, 9) și (9,3) deoarece 3²+9²=9+81=90=9²+3².
Răspuns: (i,j)∈{(3, 9); (9, 3)}.
