[tex]\displaystyle{ \sqrt{5n+7} \not \in \mathbb{N} \leftrightarrow (5n + 7) \not = pp }[/tex]
Ult. cif. pp ∈ {0, 1, 4, 5, 6, 9}
(5n + 7) ≠ pp ⇔ Ult. cif. (5n + 7) ∈ {2, 3, 7, 8}
n = 1 ⇒ 5n + 7 = 5 + 7 = 12
n = 2 ⇒ 5n + 7 = 10 + 7 = 17
n = 3 ⇒ 5n + 7 = 15 + 7 = 22
n = 4 ⇒ 5n + 7 = 25 + 7 = 32
n = 100 ⇒ 5n + 7 = 500 + 7 = 507
Observam regula:
5n ∈ [tex]\displaystyle{ M_{5} }[/tex] ⇔ orice numar care se divide cu 5 are ultima cifra 0 sau 5
Cazul 1) ult. cif. (5n) = 0 ⇒ ult. cif. (5n + 7) = 7
Cazul 2) ult. cif. (5n) = 5 ⇒ ult. cif (5n + 7) = 2
Cum nu există niciun pătrat perfect care să aibă ultima cifră 2 sau 7, (5n + 7) nu este pătrat perfect. Prin urmare, [tex]\displaystyle{ \sqrt{5n+7} }[/tex] nu este natural.
Q.E.D.
