Explicație pas cu pas:
Să se rezolve ecuația diferențială ordinară
[tex]2\frac{y}{x}y'=\left(\frac{y}{x}\right)^2-4[/tex]
care este echivalentă cu EDO originală.
În primul rând să se considere substituirea [tex]z=y/x[/tex], de unde [tex]y=xz[/tex], vine [tex]y'=z+xz'[/tex]. Ecuația se reduce la forma următoare:
[tex]2z(z+xz')=z^2-4[/tex],
sau
[tex]\underbrace{(z^2+4)}_{M}+\underbrace{2xz}_{N}z'=0[/tex].
[tex]\partial_z M=2z[/tex],
[tex]\partial_x N=2z[/tex],
adică, [tex]M+Nz'=0[/tex] este o EDO exactă. înseamnă că există [tex]\Phi=\Phi(x,z(x))[/tex], în așa fel încât
[tex]\partial_x\Phi=M[/tex] și [tex]\partial_z\Phi=N[/tex].
Deci
[tex]\Phi=\int M dx= xz^2+4x+h(z)[/tex].
Mai departe, derivăm această expresie, în relație cu [tex]z[/tex] (care este egală cu [tex]N[/tex]). În felul următor
[tex]2xz+h'(z)=2xz[/tex], de unde se conclude că funcția [tex]h[/tex] este constantă. Soluția generală a EDO originală, luând în cont că [tex]z=y/x[/tex], este dată prin următoare expresie implicită:
[tex]y^2/x+4x=c[/tex], [tex](c\in\mathbb{R})[/tex].
