Răspuns:
1)
a² = (2√7 + 3)² = 28 + 12√7 + 9 = 37 + 12√7
b² = (5 + 2√3)² = 25 + 20√3 + 12 = 37 + 20√3
comparăm a cu b
37 + 12√7 vs. 37 + 20√3 | - 37
12√7 vs. 20√3
√(144·7) vs. √(400·3)
√1008 vs. √1200
√1008 < √1200
⇒ a² < b² ⇒ b² nu este cel mai mic element al lui M
|- 50 - √101| = |- (50 + √101)| = 50 + √101
trebuie să comparăm 50 + √101 cu a²
folosim un artificiu:
50 + √101 < 50 + √121
50 + √121 = 50 + 11 = 61
50 + √101 < 61
comparăm 61 cu a²
61 vs. 37 + 12√7 | - 37
24 vs. 12√7 | : 12
2 vs. √7
√4 vs. √7
√4 < √7 ⇔ 61 < a²
cum 50 + √101 < 61
⇒ 50 + √101 < a²
⇒ cel mai mic element din M este |- 50 - √101 |
2)
m = 4n² - 12n + 9 + 12n² + 16n - 18n - 24 + 9n² + 24n + 16
m = 25n² + 10n + 1
m = (5n)² + 2 · 5n · 1 + 1²
m = (5n + 1)²
m este pătratul numărului (5n + 1)
n ∈N ⇒ (5n + 1) ∈ R
