Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Notez S=1+i+i²+i³+...+iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ
Caz 1 - n=4·a =>
S=1+i+i²+i³+...+iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ=(1+i+i²+i³)+(1+i+i²+i³)·i+(1+i+i²+i³)·i²+...+(1+i+i²+i³)·iⁿ⁻⁴+iⁿ=(1+i+i²+i³)·(1+i+i²+...+iⁿ⁻⁴)+iⁿ=(1+i-1-i)·(1+i+i²+...+iⁿ⁻⁴)+iⁿ=
=0·(1+i+i²+...+iⁿ⁻⁴)+iⁿ=iⁿ=i⁴ᵃ=(i⁴)ᵃ=1ᵃ=1
Caz 2 - n=4·a+1 =>
S=1+i+i²+i³+...+iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ=(1+i+i²+i³)+(1+i+i²+i³)·i+(1+i+i²+i³)·i²+...+(1+i+i²+i³)·iⁿ⁻⁵+iⁿ⁻¹+iⁿ=(1+i+i²+i³)·(1+i+i²+...+iⁿ⁻⁵)+iⁿ⁻¹+iⁿ=
=(1+i-1-i)·(1+i+i²+...+iⁿ⁻⁵)+iⁿ⁻¹+iⁿ=0·(1+i+i²+...+iⁿ⁻⁵)+iⁿ⁻¹+iⁿ=iⁿ⁻¹+iⁿ=i⁴ᵃ+i⁴ᵃ⁺¹=(i⁴)ᵃ+i·(i⁴)ᵃ=1ᵃ+i·1ᵃ=1+i
Caz 3 - n=4·a+2 =>
S=1+i+i²+i³+...+iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ=(1+i+i²+i³)+(1+i+i²+i³)·i+(1+i+i²+i³)·i²+...+(1+i+i²+i³)·iⁿ⁻⁶+iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ=(1+i+i²+i³)·(1+i+i²+...+iⁿ⁻⁶)+iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ=
=(1+i-1-i)·(1+i+i²+...+iⁿ⁻⁶)+iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ=0·(1+i+i²+...+iⁿ⁻⁶)+iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ=
=iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ=i⁴ᵃ+i⁴ᵃ⁺¹+i⁴ᵃ⁺²=(i⁴)ᵃ+i·(i⁴)ᵃ+i²·(i⁴)ᵃ=1ᵃ+i·1ᵃ+i²·1ᵃ=1+i-1=i
Caz 4 - n=4·a+3 =>
S=1+i+i²+i³+...+iⁿ⁻²+iⁿ⁻¹+iⁿ=(1+i+i²+i³)+(1+i+i²+i³)·i+(1+i+i²+i³)·i²+...+(1+i+i²+i³)·iⁿ⁻³=
=(1+i+i²+i³)·(1+i+i²+...+iⁿ⁻³)=(1+i-1-i)·(1+i+i²+...+iⁿ⁻³)=
=0·(1+i+i²+...+iⁿ⁻³)=0
