Va trebui să lucrăm pe bucăți, fiind exercițiul de așa natură.
________________________________
[tex]a=3^{1996} -2(3^{1995} +3^{1994}+...+3^{100})[/tex]
Vom lua suma din paranteză și o vom numi S, deci vom avea:
[tex]S=3^{100}+...+3^{1994}+3^{1995}[/tex]
Adunăm cu 1 în ambii membrii:
[tex]S+1=1+3^{100}+...+3^{1994}+3^{1995}[/tex]
Și acum înmulțim cu 3 în ambii membrii:
[tex]3(S+1)=3+3^{101}+...+3^{1995}+3^{1996}[/tex]
[tex]3S+3=3+3^{101}+...+3^{1995}+3^{1996}[/tex]
De aici vom scade un S din ambii membrii, astfel vom rămâne cu:
[tex]2S+3=3-3^{100} +3^{1996}[/tex]
Il scădem pe 3 din ambii membrii:
[tex]2S=-3^{100}+3^{1996}[/tex]
[tex]S=\frac{-3^{100}+3^{1996} }{2}[/tex]
Il înlocuim pe S în exercițiu:
[tex]a=3^{1996}-2\frac{-3^{100}+3^{1996}}{2}[/tex]
[tex]a=3^{1996}-1*(-3^{100}+3^{1996})[/tex]
[tex]a=3^{1996}-3^{1996}+3^{100}[/tex]
[tex]a=3^{100}[/tex]
___________________________________
[tex]b=2^{1996} -(2^{1995}+2^{1994}+...+2^{150})[/tex]
Vom lua tot la fel, suma din paranteză și vom proceda la fel!
[tex]S=2^{150}+...+2^{1994}+2^{1995}[/tex]
Adunăm cu 1 în ambii membrii:
[tex]S+1=1+2^{150}+...+2^{1994}+2^{1995}[/tex]
Înmulțim cu 2 în ambii membrii:
[tex]2S+2=2+2^{151}+...+2^{1995}+2^{1996 }\\[/tex]
Scădem un S din ambii membrii și vom rămâne cu :
[tex]S+2=2-2^{150}+2^{1996}[/tex]
Scăpăm și de 2 din ambii membrii:
[tex]S=-2^{150}+2^{1996}[/tex]
Acum îl înlocuim pe S în exercițiu:
[tex]b=2^{1996}-(-2^{150}+2^{1996})[/tex]
[tex]b=2^{1996}-2^{1996}+2^{150}[/tex]
[tex]b=2^{150}[/tex]
____________________________________
Am obținut :
[tex]a=3^{100}\\b=2^{150}[/tex]
Că să le comparăm, vom încerca să le aducem la o putere cu același exponent!
[tex]a=3^{100}\\a=3^{2^{50}}\\a=9^{50}[/tex]
[tex]b=2^{150}\\b=2^{3^{50}}\\b=8^{50}[/tex]
Acum le putem compara și observăm clar că:
[tex]a>b[/tex]
Întrucât
[tex]9^{50}>8^{50}[/tex]
Îmi pare rău că n-am putut pune exercițiul pe caiet... așa s-ar fi înțeles mai ușor...
Sper totuși că ai înțeles!
