4. In figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC. cu AB =3 cm și inaltimea AD. unde punctul D se află pe latura BC. Punctul M aparține laturii AB, astfel încât AM = 1 cm. Paralela prin punctul M la dreapta AC intersectează dreapta AD în punctul Q și dreapta BC în unctul P a) Arată că perimetrul triunghiului BMP este egal cu 6cm. b)Determina lungimea segmentului PQ Dau coroana
Cu teorema lui Thales va rog

[tex]\it a)\ BM=AB-AM=3-1=2\ cm\\ \\ MP||AC\ \stackrel{T.Thales}{\Longrightarrow}\ \dfrac{BM}{MA}=\dfrac{BP}{PC} \Rightarrow\dfrac{2}{1}=\dfrac{BP}{PC} \Rightarrow BP=2PC\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ Dar,\ BP+PC=BC \Rightarrow BP+PC=3 \Rightarrow BP=3-PC\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow 2PC=3-PC \Rightarrow 2PC+PC=3 \Rightarrow 3PC=3|_{:3} \Rightarrow PC=1\ cm\\ \\ \\ BP=BC-PC=3-1=2\ cm[/tex]

[tex]\it \Delta BMP-\ isoscel\ (BM=BP=2\ cm),\ iar\ \ \widehat B=60^o,\ \ deci\\ \\ \Delta BMP\ -\ echilateral \Rightarrow \mathcal{P}_{BMP} =3\cdot BM=3\cdot2=6\ cm[/tex]

b)

AD - înălțime în ΔABC- echilateral⇒ AD-mediană⇒ DC=BC:2=3:2=1,5cm

[tex]\it \Delta BMP\ -\ echilateral \Rightarrow \widehat{MPB}=60^o\\ \\ Din\ \Delta QDP,\ dreptunghic\ \^{i}n\ D,\ \Rightarrow \widehat{PQD}=30^o\ (complementul\ lui\ 60^o).\\ \\[/tex]

Cu teorema unghiului de 30° în ΔQDP, rezultă:

PQ = 2PD=2(DC-PC)=2(1,5-1)=2· 0,5 =1cm