Problema 1
Fie baieti = B
Fie fete = F
[tex]\displaystyle{ B = \frac{9}{10} \cdot F }[/tex]
[tex]\displaystyle{ B - 12 = \frac{5}{6} \cdot F }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \frac{9F}{10} - 12 = \frac{5F}{6} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \frac{9F}{10} = \frac{5F}{6} + 12 = \frac{5F}{6} + \frac{72}{6} = \frac{5F + 72}{6} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 9F \cdot 6 = 10 \cdot (5F + 72) }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 54 F = 50 F + 720 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 4F = 720 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ F = \frac{720}{4} }[/tex]
[tex]\boxed{F=180}[/tex]
[tex]\displaystyle{ B = \frac{9 \cdot 180}{10} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ B = 9 \cdot 18 }[/tex]
[tex]\boxed{B = 162}[/tex]
In tabara sunt 162 de baieti si 180 de fete.
Problema 2
Fa desenul ca sa iti vina mai usor si sa intelegi rezolvarea mai bine. Primul pas in a rezolva o problema de geometrie este sa faci desenul.
ABCD dreptunghi
diagonala = AC = BD = 16 cm
M este proiectia lui A pe BD asta inseamna ca AM ⊥ BD
MB = 3MD
DB = 4MD = 16 cm
MD = 16 : 4 = 4 cm
MB = 3 * 4 = 12 cm
Fie {O} = AC ∩ BD
In dreptunghi, diagonalele se injumatatesc.
Deci OA = OB = OC = OD = 16 : 2 = 8 cm
OD = 8 cm
MD = 4 cm
⇒ MO = 8 - 4 = 4 cm
ΔAMO
m(∡AMO) = 90°
Cunoastem unghiul drept si 2 laturi, deci putem aplica Pitagora.
AO² = MO² + AM²
AM² = 8² - 4²
AM² = 64 - 16
AM² = 48
AM = √48 = 4√3 cm
ΔAMB
m(∡AMB) = 90°
Aplicam Pitagora
AB² = AM² + MB²
AB² = (4√3)² + 12²
AB² = 48 + 144 = 192
AB = √192 = 8√3 cm
ΔABD
m(∡DAB) = 90°
Aplicam Pitagora
DB² = AD² + AB²
AD² = 16² - (8√3)²
AD² = 256 - 192 = 64
AD = √64 = 8 cm
Punctul A)
Aria = AD * AB = 8 * 8√3 = 64√3 cm²
Perimetru = 2 * (AD + AB) = 2 * (8 + 8√3) = 16 + 16√3 cm
Punctul B)
ΔABD
m(∡DAB) = 90°
AD = 8 cm
BD = 16 cm
⇒AD = BD/2
Intr-un triunghi dreptunghic, cateta opusa unghiului de 30 de grade este jumatate din ipotenuza. Triunghiul ABD este dreptunghic in A, iar AD este jumatate din BD. Prin urmare, unghiul opus catetei AD, adica ∡ABD este de 30°. Cu alte cuvinte, am aplicat reciproca teoremei de 30 de grade.
m(∡ABD) = 30° ⇒ tg (∡ABD) = tg 30° = √3/3
Punctul C)
Raza cercului circumscris unui dreptunghi este intotdeauna egala cu jumatate din diagonala dreptunghiului. (Deoarece diametrul cercului este egal cu diagonala)
R = 16/2 = 8 cm
Formula lungimii cercului este L = 2πR
Prin urmare, lungimea cercului circumscris = 16π cm
(sau daca vrei, poti aproxima π ca fiind 3,14 si obtii valoarea aproximativa 50,24 cm; dar de obicei daca problema nu iti da valoarea lui pi, nu prea ai voie sa il transformi)
