Arătați că numărul A= 1+2¹+2²+...+2¹²⁴ este divizibil cu: a. 5. b. 7 c. 15

Question

a fost răspuns

Răspuns :

Kawaiimathask Kawaiimathask · Answer 1

a) A= 1+2¹+2²+...+2¹²⁴

A=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+...+2¹²³+2¹²⁴

A=5+2²(1+2¹)+2⁴(1+2¹)+...+2¹²³(1+2¹)

A=5+2²*5+2⁴*5+...+2¹²³*5

A=5(1+2²+2⁴+...+2¹²³) se divide cu 5

b) A= 1+2¹+2²+...+2¹²⁴

A=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+...+2¹²²+2¹²³+2¹²⁴

A=1+2+4+2³(1+2¹+2²)+...+2¹²²(1+2¹+2²)

A=7+2³*7+...+2¹²²*7

A=7(1+2³+...+2¹²²) se divide cu 7

c) A= 1+2¹+2²+...+2¹²⁴

A=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+...+2¹²¹+2¹²²+2¹²³+2¹²⁴

A=1+2+4+8+2⁴(1+2¹+2²+2³)+...+2¹²¹(1+2¹+2²+2³)

A=15+2⁴*15+...+2¹²¹*15

A=15(1+2⁴+...+2¹²¹) se divide cu 15

Kawaiimath

Chris02Juniorask Chris02Juniorask · Answer 2

Răspuns:

vezi mai jos!

Explicație pas cu pas:

A= 1+2¹+2²+...+2¹²⁴ = progresie geometrica cu 125 termeni si de ratie q = 2

1(2^125 - 1)/(2 - 1) =

2^125 - 1 =

(2^5)^25 - 1 =

(2^5 - 1) [(2^5)^24 + (2^5)^23 +... + 2 + 1] =

15[(2^5)^24 + (2^5)^23 +... + 2 + 1] care este DIVIZIBIL cu 5 si 15, deci variante adevarate a si c.

A = 1+2+4 + 8+16´32 + --- + 2^122 + 2^123 + 2^124 =

7 + 8(1+2+4) + --- + 2^122 (1+2+4) =

7(1+2^3 + ... + 2^122) care este DIVIZIBIL cu 7, deci si varianta b este adevarata.

Observatie:

am folosit formula

a^n - 1 = (a-1)(a^(n-1) + a^(n-2) + ... + 1)