Răspuns:
f(x)=2x³+2
Domeni de definiti RCoDomeniul R
Intersectiaa cu Ox f(x)=0
2x³+2=0║:2
x³+1=0
(x+1)(x²+x+1)=0
x+1=0 x1=-1∞Paranteza 2 e o functie de gradul 2 cu discriminantul Δ=-3<0 Deci e strict pozitiva
Singurul punct de intersectiee e cu Ox este (-1,0)
Intersetia cu OY f(0)=2*0³+2=2 (0,2)
x->-∞ limf(x)=lim(2x³+2)= -∞
x->+∞limf(x)=lim(2x³+2)=+∞
Derivata 1
f `(x)=6x²
f `(x) =0 6x²=0
x=0
Deoarecece functia e pozitiva pt x<0 si x>0 => x=0 esrte punct de inflexiune
Derivata e strict pozitiva pe R , deci functia e strict crescatoare
Derivata 2
f ``(x)=(6x²) `=12x
f ``(x)=0 12x=0 x=0 Punct de inflexiune
Pt x>0 f ``(x)>0 functia este convexa
x<0 f ``(x)<0 functia este concava
Tabelul de variiatie
x l -∞ -1 0 +∞
_______________________________
f `(x)l + + + + + + + + + +
______________________________
f(X) l -∞ / / 0 / / / / / /
_________________________________
f``(x) ∩ 0 U
Graficul e in atasament 1
_________________________________________________________
f(x)=x/(x-1)²
x-1≠0=> x≠1
Domeniul R\{1}
Codomeniul R
Intersectia cu Ox
f(x)=0 x/(x-1)²=0 x=0
Intersectia cuOY f(0)=0
lim ;la -∞
x->-∞limf(x)=limx/(x-1)²=0 fiindca gradul numaratorului < gradul numitorului
x->+∞ limf(x)=lim x/(x-1)²=0 analog
Asimptpota verticala in =1
x->1 , x<1 lim x/(x-1) ²=1/(1-0-1)²=1/(-0)² =1/+0=+∞
x->1 x>1 lim x/(x-1)²=1/(1+0-1)²=1/+0=+∞
X=1 asimptota in 1 la +∞
DerivatA
f `(x)=[x `(x-1)²-x(x-1)² `]/(x-1)²]²=
[(x-1)²-x*2(x-1)]/(x-1)⁴=
(x-1)[(x-1)-2x]/(x-1)⁴+
(X-1)(X-1-2X)/(x-1)⁴
(x-1)(-x-1)/(x-1)⁴=-(x-1)(x+1)/(x-1)⁴=
-(x²-1)/(x-1)⁴=(1-x²)/(x-1)⁴
f `(x)=0 1-x²=0 x=+/-1
Conform regulii semnului pt functia de gradul 2 pt x∈(-∞,-1)U(+1,+∞)
derivata e negativa , deci f descrescatoare
Pt x∈[-1,1) derivata e pozitiva deci f crescatoare=>
x= -1 punct de minim. x=1 ∉Gf
f(-1)=-1/(-2)²= -1/4
DerivatA2
f ``(x)=[(1-x²) `(x-1)⁴-(1-x²)(1-x)⁴ `]/(1--x)⁸=
[(-2x(x-1)⁴-4(1-x²)(1-x)³](1-x)⁸=
(1-x)³[-2x(1-x)-4+4x²]/(1-x)⁸=
(1-x)³(-2x+2x²-4+4x²)/(1-x)⁸=
(1-x)³(6x²-2x-4)/(1-x)⁸
Punctele de inflexiune
(1-x)³(6x²-2x-4)=0
1-x=0
x=1∉Domeniu
6x²-2x-4=0
x=-2
x=3
Semnul derivatei a 2-a
x l -∞ -2 1 3 +∞
___________________________-________
1-x 0+ + + + l- - - - - -
____________________________________
6x²-2x-4l+ + + 0- - - - - - 0+ + + +
____________________________________
f ``(x)l + + + 0- - -l+ + + 0- - - -
DEci x={-2,3} puncte de inflexiune
f ``(x)>0 x∈(-∞,-2]U(1,3] f convexa
f ``(x)<0 x∈(-2,-1)U(3,+∞) f concava
Tabelul de variatie
x l -∞ -2, -1 0 1 3 +∞
-----------------------------------------------------------------------
f `(x)l - - - - 0+ + +l- - - - - -
_________________________________________
f(x) l0\ \ \ \-1/4/ / / /+∞\ \ \ \ \ \
Explicație pas cu pas:
