Răspuns:
Ai ecuația (m+1)x²-x+m-1≥0, ∀m∈R
Primul pas este să egalezi ecuația cu 0, ca să vezi ce soluții are.
(m+1)x²-x+m-1=0
Ea este o ecuație de gradul 2, așa că trebuie să găsești coeficienții ei pentru a calcula Δ. În cazul acesta:
a = m+1
b = -1
c = m-1
Folosești formula pentru a calcula Δ:
Δ = b² - 4·a·c = (-1)²-4·(m+1)(m-1) = 1-4(m²-1) = 1-4m²+4 = -4m²+5
De aici, avem 3 cazuri:
Cazul 1: Δ>0 (ecuația are două soluții reale distincte: x₁≠x₂)
-4m²+5>0 ⇒ 4m²-5<0
Obținem o altă ecuație de gradul 2, de data aceasta cu necunoscuta m, pe care o rezolvăm.
Δ = 0 - 4·4·(-5) = 80 ⇒ m₁ = [tex]\frac{4\sqrt{5} }{8} =\frac{\sqrt{5} }{2}[/tex]
⇒ m₂ = [tex]\frac{-4\sqrt{5} }{8}=\frac{-\sqrt{5} }{2}[/tex]
Pentru că ecuația trebuie să fie mai mică decât 0, se face tabelul de semne și se obține că m∈([tex]\frac{-\sqrt{5} }{2},\frac{\sqrt{5} }{2}[/tex])
Cazul 2: Δ=0 (ecuația are două soluții reale identice: x₁=x₂)
-4m²+5=0 ⇒ 4m²-5=0
Δ = 0 - 4·4·(-5) = 80 ⇒ m₁ = [tex]\frac{4\sqrt{5} }{8} =\frac{\sqrt{5} }{2}[/tex]
⇒ m₂ = [tex]\frac{-4\sqrt{5} }{8}=\frac{-\sqrt{5} }{2}[/tex]
⇒m∈{[tex]\frac{-\sqrt{5} }{2},\frac{\sqrt{5} }{2}[/tex]}
Cazul 3: Δ<0 (ecuația nu are soluții reale)
-4m²+5=0 ⇒ 4m²-5=0
Δ = 0 - 4·4·(-5) = 80 ⇒ m₁ = [tex]\frac{4\sqrt{5} }{8} =\frac{\sqrt{5} }{2}[/tex]
⇒ m₂ = [tex]\frac{-4\sqrt{5} }{8}=\frac{-\sqrt{5} }{2}[/tex]
⇒m∈(-∞ , -√5/2) ∪ (√5/2 , ∞)
Normal la exercițiile de genul o să-ți ceară să afli m pentru unul din cele 3 cazuri de mai sus. Sper că te-am ajutat :)
