Răspuns:
abc=4*a*b*c
100*a + 10*b + c = 4*a*b*c
Putem face cateva observatii:
pentru ca membrul din dreapta e divizibil cu 2 (e 4 ori ceva, deci e sigur divizibil si cu 2) si membrul din stanga e divizibil cu 2
100a si 10b sunt termeni divizibili cu 2, deci si c trebuie sa fie divizibil cu 2
astfel, putem scrie c sub forma: c = 2k ( k e 0, 1, 2, 3 sau 4)
100a + 10b + 2k = 4ab*2k
50a + 5b + k = 4abk
acum observam si faptul ca k nu trebuie sa fie nul ca numsrul abc sa nu fie nul, deci k poate lua doar valorile 1, 2, 3 sau 4
Cazul 1: k = 1
50a + 5b + 1 = 4ab
4ab e par, deci si 50a + 5b + 1 e par => 50a + 5b e impar (1 e impar) => 5b e impar => b e impar => b poate sa fie 1, 3, 5, 7 sau 9
50a + 5b + 1 = 4ab
5b + 1 = 4ab -50a =>
5b + 1 = a (4b-50) > 0 => 4b - 50>0 => 4b > 50 => b > 12,5 (sau b > 12) fals => primul caz nu este bun
Cazul 2: k = 2
50a + 5b + 2 = 8ab
8ab e par, deci si 50a + 5b + 2 e par => 50a + 5b e par (2 e par) => 5b e par => b e par => b poate sa fie 2, 4, 6 sau 8 (ca abc sa nu fie nul, b nu trebuie sa fie nul)
50a + 5b + 2 = 8ab
5b + 2 = 8ab -50a =>
5b + 2 = a (8b-50) > 0 =>
a (8b-50) > 0 => 8b - 50 > 0 => 8b >= 50 => b > 6,25 => b > 6
singura varianta buna e b=8 si verificam:
50a + 5*8 + 2 = 8*8a
50a + 42 = 64a
42 = 14a
a = 3
o prima varianta de numar abc este cu a=3 b=8 si c=4
o prima varianta de numar abc este cu a=3 b=8 si c=4abc=384
Cazul 3: k=3
50a + 5b + 3 = 12ab
12ab e par, deci si 50a + 5b + 3 e par => 50a + 5b e impar (3 e impar) => 5b e impar (50a e par) => b e impar => b poate sa fie 1, 3, 5, 7, 9
50a + 5b + 3 = 12ab
5b + 3 = 12ab -50a =>
5b + 3 = a (12b-50) > 0=>
a (12b-50) > 0 => 12b - 50>0 => 12b > 50 => b > 4,16 => b>4
b poate lua valorile 5, 7 si 9
b = 5:
50a + 5*5 + 3 = 12*5a
50a + 25 + 3 = 60a
28 = 60a - 50a = 10a
28 = 10 a
14 = 5a (nu convine)
b = 7:
50a + 5*7 + 3 = 12*7a
50a + 35 + 3 = 84a
38 = 84a - 50a = 34a
38 = 34 a
19 = 14a (nu convine)
b = 9:
50a + 5*9 + 3 = 108a
50a + 45 + 3 = 108a
48 = 108a - 50a = 58a
48 = 58 a
24 = 29a (nu convine)
deci cazul 3 nu este bun
Cazul 4: k=4
50a + 5b + 4 = 16ab
16ab e par, deci si 50a + 5b + 4 e par => 50a + 5b e par (4 e par) => 5b e par (50a e par) => b e par => b poate sa fie 2, 4, 6 sau 8 (ca abc sa nu fie nul, b nu trebuie sa fie nul)
50a + 5b + 4 = 16ab
5b + 4 = 16ab -50a =>
5b + 4 = a (16b-50) > 0=>
a (16b-50) > 0 => 16b - 50>0 => 16b > 50 => b > 3,12 => b>3
b poate sa fie 4, 6, 8
b = 4:
50a + 5*4 + 4 = 16*4a
50a + 20 + 4 = 64a
24 = 64a - 50a = 14a
24 = 14 a
12 = 7a (nu convine)
b = 6:
50a + 5*6 + 4 = 16*6a
50a + 30 + 4 = 96a
34 = 96a - 50a = 46a
34 = 46 a
17 = 23a (nu convine)
b = 8:
50a + 5*8 + 4 = 16*8a
50a + 40 + 4 = 128a
44 = 128a - 50a = 78a
44 = 78 a
22 = 39a (nu convine)
deci cazul 4 nu e bun
In final, o singura solutie e buna: abc=384
Explicație pas cu pas:
Semnul => inseamna rezulta
