Punctul A
Proprietatea 1 - Orice număr natural [tex]n[/tex] este divizibil cu 1 și cu el însuși.
- [tex]\displaystyle{ n \ \vdots \ n }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ n \ \vdots \ 1 }[/tex]
Proprietatea rescrisă - Orice număr natural [tex]n[/tex] îl divide pe el însuși. De asemenea, 1 divide orice număr.
- [tex]\displaystyle{ n \mid n }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 1 \mid n }[/tex]
Proprietatea 2 (tranzitivitatea) - Fie a, b și c trei numere naturale diferite. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu c, atunci a este divizibil cu c.
- [tex]\displaystyle{ a \ \vdots \ b, b \ \vdots \ c \rightarrow a \ \vdots \ c }[/tex]
Proprietatea rescrisă - Fie a, b și c trei numere naturale diferite. Dacă b îl divide pe a și b îl divide pe c, atunci c îl divide pe a.
- [tex]\displaystyle{ b \mid a, b \mid c \rightarrow c \mid a }[/tex]
Proprietatea 3 - Fie a și b două numere naturale diferite. Dacă b este divizibil cu a, atunci b înmulțit cu orice număr natural este divizibil cu a.
- [tex]\displaystyle{ b \ \vdots \ a \rightarrow b \cdot n \ \vdots \ a, \forall \ n \in \mathbb{N} }[/tex]
Proprietatea rescrisă - Fie a și b două numere naturale diferite. Dacă a îl divide pe b, atunci a va divide orice multiplu al lui b.
- [tex]\displaystyle{ a \mid b \rightarrow a \mid b \cdot n, \forall \ n \in \mathbb{N} }[/tex]
Proprietatea 4 - Fie a, b și c trei numere naturale diferite. Dacă b și c sunt divizibile cu a, atunci suma, diferența și produsul numerelor b și c vor fi divizibile cu a.
- [tex]\displaystyle{ b \ \vdots \ a, \ c \ \vdots \ a \rightarrow (b + c) \ \vdots \ a, \ (b - c) \ \vdots \ a, \ (b \cdot c) \ \vdots \ a }[/tex]
Proprietatea rescrisă - Fie a, b și c trei numere naturale diferite. Dacă a divide pe b și a divide pe c, atunci a divide suma, diferența și produsul numerelor b și c.
- [tex]\displaystyle{ a \mid b, \ a \mid c \rightarrow a \mid (b+c), \ a \mid (b - c), \ a \mid (b \cdot c) }[/tex]
Proprietatea 5 - Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu a, atunci numerele a și b sunt egale.
- [tex]\displaystyle{ a \ \vdots \ b, \ b \ \vdots \ a \rightarrow a = b }[/tex]
Proprietatea rescrisă - Dacă a se divide cu b și b se divide cu a, atunci numerele a și b sunt egale.
- [tex]\displaystyle{ a \mid b, \ b \mid a \rightarrow a = b }[/tex]
Proprietatea 6 - Numărul zero este divizibil cu orice număr natural nenul.
- [tex]\displaystyle{ 0 \ \vdots \ n, \forall \ n \in \mathbb{N*} }[/tex]
Proprietatea rescrisă - Orice număr natural nenul îl divide pe zero.
- [tex]\displaystyle{ n \mid 0, \forall \ n \in \mathbb{N*} }[/tex]
Punctul B
Exemple proprietatea 1:
- [tex]\displaystyle{ 2 \ \vdots \ 2 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 17 \mid 17 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 451 \ \vdots \ 1 }[/tex]
Exemple proprietatea 2:
- [tex]\displaystyle{ 18 \ \vdots \ 6, \ 6 \ \vdots \ 3 \rightarrow 18 \ \vdots \ 3 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 2 \mid 4, \ 4 \mid 8 \rightarrow 2 \mid 8 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 5 \mid 10, \ 10 \mid 100 \rightarrow 5 \mid 100 }[/tex]
Exemple proprietatea 3:
- [tex]\displaystyle{ 3 \mid 6 \rightarrow 3 \mid 6 \cdot 2 \rightarrow 3 \mid 12 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 40 \mid 80 \rightarrow 40 \mid 80 \cdot 5 \rightarrow 40 \mid 400 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 2 \mid 4 \rightarrow 2 \mid 4 \cdot 8 \rightarrow 2 \mid 32 }[/tex]
Exemplu proprietatea 4:
[tex]\displaystyle{ 3 \mid 6, \ 3 \mid 9 \rightarrow }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 3 \mid (6 + 9) \rightarrow 3 \mid 15 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 3 \mid (9 - 6) \rightarrow 3 \mid 3 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 3 \mid (6 \cdot 9) \rightarrow 3 \mid 54 }[/tex]
- Exemple proprietatea 5:
- [tex]\displaystyle{ 6 \ \vdots \ \frac{12}{2}, \ \frac{12}{2} \ \vdots \ 6 \rightarrow 6 = \frac{12}{2} }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 10 \mid 5 \cdot 2, \ 5 \cdot 2 \mid 10 \rightarrow 5 \cdot 2 = 10 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 40 \mid 10 \cdot 4, \ 10 \cdot 4 \mid 40 \rightarrow 10 \cdot 4 = 40 }[/tex]
Exemple proprietatea 6:
- [tex]\displaystyle{ 0 \ \vdots \ 31 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 618119 \mid 0 }[/tex]
- [tex]\displaystyle{ 1 \mid 0 }[/tex]
#copaceibrainly
