Salut,
Scriem pe dos inegalitatea dintre media geometrică și cea artitmetică pentru numerele n și n + 1:
[tex]\sqrt{n(n+1)}\leq\dfrac{n+n+1}2,\ sau \sqrt{n(n+1)}\leq n+\dfrac{1}2.[/tex]
Dăm la n valori de la 1 la n, pentru inegalitatea de mai sus:
[tex]\sqrt{2}<1+\dfrac{1}2\\\\\sqrt{6}<2+\dfrac{1}2\\...\\\sqrt{(n-1)n}<n-1+\dfrac{1}2\\\\\sqrt{n(n+1)}<n+\dfrac{1}2.\\\\Adun\breve{a}m\ toate\ aceste\ n\ inegalit\breve{a}\c{t}i,\ membru\ cu\ membru:\\\\\sqrt2+\sqrt6+\ldots+\sqrt{(n-1)n}+\sqrt{n(n+1)}<1+2+\ldots+n+n\cdot\dfrac{1}2,\ sau\\\\\sqrt2+\sqrt6+\ldots+\sqrt{(n-1)n}+\sqrt{n(n+1)}<\dfrac{n(n+1)}2+\dfrac{n}2,\ sau\\\\\sqrt2+\sqrt6+\ldots+\sqrt{(n-1)n}+\sqrt{n(n+1)}<\dfrac{n(n+2)}2.[/tex]
Ceea ce trebuia demonstrat.
Ai înțeles ?
Green eyes.
