Răspuns: n=1
Mod de rezolvare:
Dacă [tex]{5}^{2n+1} - 5^n +1 = k^2[/tex] cu k ∈ N, atunci k este impar.
Avem [tex]5^n(5^{n+1} -1)=(k-1)(k-1)[/tex].
Cum k-1 si k+1 sunt numere pare consecutive, cel mai mare divizor comun al lor este 2, deci cele doua numere trebuie să fie [tex]2*5^n[/tex] si [tex]\frac{5^{n+1}-1}{2}[/tex] .
Într-adevăr, n=0 nu convine, iar n≥1 implică k≥11.
Atunci [tex]\frac{k+1}{k-1} = 1 + \frac{2}{k-1} \leq 1 + \frac{2}{10} = \frac{6}{5}[/tex]
Daca k-1 si k+1 ar fi [tex]5^n * 2p[/tex] si [tex]\frac{5^{n+1}-1}{2p}[/tex] , cu p≥2, atunci raportul lor ar fi
[tex]\frac{5^n * 4p^2}{5^{n+1}-1}[/tex] > [tex]\frac{4p^2}{5} \geq \frac{16}{5} > \frac{6}{5}[/tex]
Mai mult, cum [tex]2*5^n < \frac{5^{n+1}-1}{2}[/tex] , trebuie să avem k-1=[tex]2*5^n[/tex] si k+1= [tex]\frac{5^{n+1}-1}{2}[/tex]
Prin scădere obținem că [tex]\frac{5^{n+1}-1}{2}[/tex] - [tex]2*5^n[/tex] = 2, de unde rezultă imediat că n=1.
Reciproc, pentru n=1, numărul [tex]{5}^{2n+1} - 5^n +1 = 121 = 11^2[/tex] este într-adevăr pătrat perfect, deci n=1 este singura soluție a problemei.
