Răspuns:
Rezolvarea exercițiului este detaliată mai jos.
Explicație pas cu pas:
[tex]f:R->R,[/tex] [tex]f(x) = \frac{x^{2} -1}{x^{2} +1}[/tex]
a) Arătaţi că [tex]f'(x) = \frac{4x}{(x^{2} +1)^2}[/tex] , x∈ R
Observăm că f(x) reprezintă un raport, deci vom deriva respectand regula de derivare pentru raport, adică: [tex](\frac{f}{g}) '=\frac{f'g-fg'}{g^2}[/tex]
[tex]f'(x) = \frac{(x^2-1)'(x^2+1) - (x^2-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^2} \\ =\frac{2x^3+2x - 2x^3+2x}{(x^2+1)^2} =\frac{4x}{(x^2+1)^2}[/tex]
b)
[tex]\lim_{x \to 1}\frac{f(x)}{x-1} = \lim_{x \to 1}\frac{(x^2-1)}{(x^2+1)(x-1)}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x^2+1)(x-1)} =\lim_{x \to 1}\frac{x+1}{x^2+1} =\frac{1+1}{1+1} =\frac{2}{2} =1[/tex]
c) Pentru a demonstra că funcția este convexă pe [tex][-\frac{\sqrt{3} }{3} ,\frac{\sqrt{3} }{3} ][/tex] trebuie să calculăm derivata a doua a funcției f.
Prima derivată (adică f') o avem calulată de la subpunctul a).
[tex]f''(x)=\frac{(4x)'(x^2+1)^2-4x((x^2+1)^2)'}{(x^2+1)^4 }= \frac{4(x^2+1)^2-4x*2*2x(x^2+1)}{(x^2+1)^4} = \frac{4(x^2+1)-16x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{-12x^2+4}{(x^2+1)^3}[/tex]
[tex]f''(x) =0 => -12x^2+4 =0 => 3x^2-1 =0[/tex]
[tex]x_1,_2[/tex][tex]=\± \frac{1}{\sqrt{3} } =\±\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
Alcatuim tabelul cu f''(x) si f(x) si observăm că pe intervalul [tex][-\frac{\sqrt{3} }{3} ,\frac{\sqrt{3} }{3} ][/tex] f''(x) e pozitivă deci f e convexă pe acest interval.
