Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) Trasăm DE⊥BC. Dacă ∡BCD=60°, atunci ∡CDE=30°, atunci CD=2·EC. Fie EC=x, atunci CD=2x. BD⊥CD, în ΔBDC (dreptunghic) ∡CBD=30°, ⇒BC=2·CD=4x. Atunci BE=3x=AD. Linia mijlocie e 14cm, ⇒(AD+BC):2=14, ⇒(3x+4x):2=14, ⇒7·x=14·2, ⇒x=14·2/7=4=CE. Atunci, AD=3·4=12cm, iar BC=4·4=16cm.
b) AB=DE, dar DE este perpendiculară dusă la ipotenuză în ΔBCD, ⇒DE²=BE·CE=12·4=4·3·4, deci DE=√(4·3·4)=4√3cm=AB.
c) În ΔAMD, ∡D=60°=∡BCD (corespondente). Deci ∡AMD=30°, ⇒MD=2·AD=2·12=24cm. Atunci AM²=MD²-AD²=24²-12²=12²·2²-12²·1=12²·(2²-1)=12²·3, ⇒AM=12√3cm.
Perimetrul(MAD)=MA+AD+MD=12√3+12+24=12√3+36=12·(√3 +3)cm.
Problema 2. Dacă BE∩CF=G (centru de greutate), atunci GE=(1/3)·27=9cm, iar BG=18cm. La fel calculăm GF=12cm, iar CG=24cm. Atunci, ΔBCG este pitagoreic cu laturile 18, 24, 30 ( 6·3, 6·4, 6·5), deci ΔBCG este dreptunghic și CF⊥BE.
Aria ΔABC=Aria(CEG)+Aria(BCG)+Aria(BFG)+Aria(AFG)+Aria(AEG). Dar Aria(CEG)=Aria(AEG), iar Aria(AFG)=Aria(BFG), ⇒ Aria(ABC)=2·Aria(CEG)+2·Aria(BFG)+Aria(BCG)=2·(1/2)·CG·EG+2·(1/2)·BG·FG+(1/2)·CG·BG=24·9+18·12+(1/2)·24·18=24·9+24·18=24·27=648cm².
b) GD=(1/3)·AD, dar GD este mediana la ipotenuză în ΔBCG, deci GD=(1/2)·BC=15. Atunci AD=3·15=45cm.
c) FB²=FG²+BG²=12²+18²=6²·2²+6²·3²=6²·13, Deci FB=6√13, iar AB=12√13. Din Aria(ΔABC)=(1/2)·AB·d(C,AB)=648
⇒d(C,AB)=648/(6√13)=108/√13=108√13/ 13 cm.
