a)
- ΔABC dr. in ∡BAC ⇒ cu T.P. ca BC = [tex]\sqrt{AB^{2}+AC^{2} }[/tex] = [tex]\sqrt{900+1600}[/tex] = [tex]\sqrt{2500}[/tex] = 50.
- [tex]P_{ABC}[/tex] = 30 + 40 + 50 = 120 cm
b)
- Aplicam Teorema celor 3 perpendiculare
MA ⊥ (ABC)
MD ⊥ BC ⇒ AD⊥BC si ΔABC dr. ⇒ AD = inaltime in ΔABC dr.
BC, AD ⊂ (ABC)
(FORMULA INALTIMII INTR-UN TRIUNGHI DREPTUNGHIC ESTE [tex]\frac{C1*C2}{IP}[/tex].)
Deci AD = [tex]\frac{AB*AC}{BC}[/tex] = [tex]\frac{30*40}{50}[/tex] = 24 cm.
AD⊂(ABC) ⇒ MA⊥AD ⇒ ΔMAD dr. in ∡MAD ⇒ MA = [tex]\sqrt{26^{2}-24^{2} }[/tex] = [tex]\sqrt{676-576}[/tex] = [tex]\sqrt{100}[/tex] = 10 cm.
c)
AC ⊂ (ABC) ⇒ MA ⊥ AC ⇒ ΔMAC dr in ∡MAC ⇒ MC = [tex]\sqrt{10^{2} + 40^{2} }[/tex] = [tex]\sqrt{100+1600}[/tex] = [tex]\sqrt{1700}[/tex] = [tex]10\sqrt{17}[/tex] cm.
- N = mijlocul lui MC ⇒ AN = mediana in ΔMAC dr.
(MEDIANA INTR-UN TRIUNGHI DREPTUNGHIC ARE O FORMULA ATUNCI CAND ACEASTA PICA PE IPOTENUZA, MEDIANA DEVENIND JUMATATE DIN IPOTENUZA.)
AN = [tex]\frac{MC}{2}[/tex] = [tex]5\sqrt{7}[/tex] cm.
- N = mijlocul lui MC ⇒ DC = mediana in ΔMDC dr. ⇒ DC = [tex]\frac{MC}{2}[/tex] = [tex]5\sqrt{7}[/tex] cm.
- AN = DC = [tex]5\sqrt{7}[/tex] ⇒ ΔAND isoscel.
- Construim NE ⊥ AD ⇒ d(N;AD) = NE ⇒ NE = inaltime si mediana in ΔAND isoscel. ⇒ ED = AE = [tex]\frac{AD}{2}[/tex] = 12 cm.
- In ΔNED dr. in ∡NED ⇒ NE = [tex]\sqrt{ND^{2} - ED^{2} }[/tex] = [tex]\sqrt{1600-144}[/tex] = [tex]\sqrt{1456}[/tex] = [tex]4\sqrt{91}[/tex] cm. ⇒ d(N;AD) = [tex]4\sqrt{91}[/tex]
