Răspuns:
[tex]b)\,\,\left(\frac{6}{5},2\right)[/tex]
Rezolvare:
[tex](m-2)4^x+(2m-3)2^{x+1}+5m-6 = 0\\ \\ (m-2)(2^{x})^2+2(2m-3)2^{x}+5m-6 = 0\\ \\ \textbf{Notez:}\\2^x = t,\quad t > 0\\ \\ (m-2)t^2+2(2m-3)t+5m-6 = 0\\ \\ \text{Fie }f:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\,\,\,f(x) = (m-2)t^2+2(2m-3)t+5m-6\\ \\ f'(t) = 2(m-2)t+2(2m-3)\\ f'(t)=0 \Rightarrow 2(m-2)t = -2(2m-3) \Rightarrow t =\dfrac{3-2m}{m-2}[/tex]
Fac tabelul de semn:
t | 0 (3-2m)/(m-2) +ထ |
f(t) | f(0) f(t) f(ထ) |
Singurele posibilități sunt:
① Sir Rolle | - X + |
f(0) < 0 și f(ထ) > 0
⇒ 5m-6 < 0 și m-2 > 0
⇒ 5m < 6 și m > 2
⇒ m < 6/5 și m > 2 ⇒ m ∈ Ф
② Sir Rolle | + X - |
f(0) > 0 și f(ထ) < 0
⇒ 5m-6 > 0 și m-2 < 0
⇒ 5m > 6 și m < 2
⇒ m > 6/5 și m < 2 ⇒ m ∈ (6/5, 2)
Din ① ∨ ② ⇒ m ∈ Ф ∪ (6/5, 2)
⇒ m ∈ (6/5, 2)
