[tex]f:\mathbb{R}\to \,\mathbb{R},\,\,f(x) = x^2+5x+6\\\\[/tex]
a) Coordonatele punctului de extrem al parabolei sunt [tex]\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/tex].
- f(x) este de forma [tex]ax^2+bx+c[/tex].
- [tex]-\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2\cdot 1} = -\frac{5}{2}[/tex]
- [tex]-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{5^2-4\cdot 1\cdot 6}{4\cdot 1}=-\frac{1}{4}[/tex]
- Dacă a > 0 ⇒ punct de minim.
- Dacă a < 0 ⇒ punct de maxim.
Răspuns: [tex]\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)[/tex] - punct de minim.
[tex]\\[/tex]
b) Monotonia parabolei este delimitată de abscisa vârfului.
Deoarece a > 0, atunci:
- Pentru [tex]x\in \left(-\infty, -\frac{5}{2}\right)[/tex] funcția e strict descrescătoare.
- Pentru [tex]x\in \left(-\frac{5}{2}, +\infty \right)[/tex] funcția e strict crescătoare.
[tex]\\[/tex]
c) Pentru inecuația [tex]x^2+5x+6 < 0[/tex]:
[tex]\Delta = 5^2-4\cdot 1\cdot 6 = 25-24 = 1\\\\ x_{1,2} = \dfrac{-5\pm \sqrt{1}}{2} \Rightarrow \left|\begin{aligned}&x_1 = \dfrac{-5-1}{2} = -3\\&x_2 =\dfrac{-5+1}{2} = -2 \end{aligned}\right.[/tex]
1. Dacă a < 0:
- Funcția e pozitivă între rădăcini, respectiv negativă în afară.
2. Dacă a > 0:
- Funcția e negativă între rădăcini, respectiv pozitivă în afară.
Răspuns: [tex]x \in (-3, -2)[/tex].
[tex]\\[/tex]
d) Aduc ecuația la o formă mai simplă:
[tex]f(x)+x+7 = 4 \Rightarrow x^2+5x+6+x+7 =4\\ \Rightarrow x^2+6x+13 = 4\Rightarrow x^2+6x+13-4 = 0\\ \Rightarrow x^2+6x+9 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 0\\\Rightarrow x+3 = 0[/tex]
Răspuns: x = -3.
