Răspuns:
Explicație pas cu pas:
AM=3cm, AB=12cm, P mijlocul laturii AB, ⇒AM=(1/2)·AB=6cm.
Deoarece AM=3, ⇒AM=MP.
a) Deoarece AO/OC=AM/MP, dupa T.Thales, ⇒OM║CP. (Daca doua drepte OM si CP intersecteaza laturile unui unghi (∠COB) si taie pe laturile lui segmente proportionale, atunci dreptele sunt paralele)
b) P(ΔAMO)=AO+OM+AO=???
Din ΔABC, T.P. ⇒AC²=AB²+BC²=12²+8²=4²·3²+4²·2²=4²·(3²+2²)=4²·13, deci AC=√(4²·13)=4√13cm. Atunci AO=(1/2)·AC=(1/2)·4√13=2√13cm.
In ΔACP, MO este linie mijlocie, deci MO=(1/2)·CP.
Din ΔBCP, CP²=PB²+BC²=6²+8²=36+64=100, deci CP=√100=10cm.
Atunci MO=(1/2)·CP=(1/2)·10=5cm.
Deci P(ΔAMO)=AO+OM+AO=2√13+5+3=2√13+8=2(√13+4)cm.
c) MO∩CD={N}. In triunghiurile AMO si CNO avem AO=CO (diagonalele la intersectie se impart in jumatati), ∠AOM≡∠CON (opuse la varf) si ∠MAO≡∠NCO ca alterne interne la dreptele paralele AB si CD cu secanta AC, deci ΔAMO≡Δ CNO dupa criteriul ULU. Atunci AM≡CN. In patrulaterul AMCN, AM║CN si AM=CN, ⇒AMCN este paralelogram.
Atunci Aria(AMCN)=AM·AD, unde AM este o latura a lui, iar AD este inlaltime. Deci Aria(AMCN)=AM·AD=3·8=24cm².
Aria(ABCD)=AB·AD=12·8=4·3·8=4·24=4·Aria(AMCN).
Se poate afirma si prin faptul ca ambele patrulatere au aceeasi inaltime iar latura paralelogramului e 1/4 din latura dreptunghiului.
Deci Aria(AMCN)=(1/4)·Aria(ABCD)
