Răspuns :
a) Se folosesc formulele:
[tex]sin\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{bc}};\ \ cos\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}[/tex] si analoagele si avem:
[tex]a\ sin\dfrac{B-C}{2}=a\left(sin\dfrac B2\ cos\dfrac C2-sin\dfrac C2\ cos\dfrac B2\right)=[/tex]
[tex]=a\sqrt{\dfrac{(p-a)(p-c)}{ac}}\cdot\sqrt{\dfrac{p(p-c)}{ab}}-a\sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)}{ab}}\cdot\sqrt{\dfrac{p(p-b)}{ac}}=[/tex]
[tex]=(p-c)\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}-(p-b)\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}=(b-c)\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}=[/tex]
[tex]=(b-c)cos\dfrac A2[/tex]
[tex]sin\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{bc}};\ \ cos\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}[/tex] si analoagele si avem:
[tex]a\ sin\dfrac{B-C}{2}=a\left(sin\dfrac B2\ cos\dfrac C2-sin\dfrac C2\ cos\dfrac B2\right)=[/tex]
[tex]=a\sqrt{\dfrac{(p-a)(p-c)}{ac}}\cdot\sqrt{\dfrac{p(p-c)}{ab}}-a\sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)}{ab}}\cdot\sqrt{\dfrac{p(p-b)}{ac}}=[/tex]
[tex]=(p-c)\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}-(p-b)\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}=(b-c)\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}=[/tex]
[tex]=(b-c)cos\dfrac A2[/tex]