1. 100a + bc = 7×bc + a 99a = 6×bc 6·bc divide 99a ⇒ a= nr.par ⇒ dacă a=2 bc=198÷6 =33 ⇒ abc =233 dacă a=4 bc = 66 abc =466 ptr. a=6 bc = 99 abc=699
2. A = 2(1+2+3+.......512)- 2^9 = 2×(512·513/2) - 2^9 =2×256 513 - 2^9 =2^9(513-1) = 2^9×2^9 = 2^18 = ( 2^9)² = (2^6)³
3. 12321 = 111² =3²·37² = 9×1369 = x²-y² = (x+y)(x-y) ⇒varianta a) x+y = 1369 x-y= 9 ⇒ x= 689 y = 680 varianta b) x+y = 333 x-y =37 ⇒ x=185 y= 148 varianta c) x+y =4107 x-y =3 ⇒x= 2050 y = 2047
4. 11^n +9^n =x² (1)
11^n- 9^n =y² (2) (1) -(2) = 2·9^n = x² - y² = (x+y)(x-y) și dând diferite valori lui n (1,2,3,...) se constată x și y sunt (întotdeauna) unul nr. par și celălalt impar ⇒ (x²-y²) = nr impar , adică 2·9^n nu divide (x²-y²) pentru nici o valoare a lui n
5. n- x³ = 381×q q<3 ptr.ca 381 ×3 > 1000 daca q=2 x³ = n-762 < 238 ⇒x³ = 6³ =216 (7³=343>238) ⇒n = 216 +762 =978 sau x³=5³ = 125 ⇒n= 125 + 762 = 887 sau x³ = 4³ = 64 ⇒ n=64 + 762 = 826 sau x³ = 3³ ⇒ n=27 + 762 =789 ....la fel ptr. x³=2³ ;i ptr/ x³ =1
daca q =1 n - x³ = 381 n = 381 + x³...... rest < 381 ⇒ x³ = 7³, 6³,5³,4³,3³,2³,1³
