Ciulindenissaask
a fost răspuns

Se considera 2013 numere naturale nedivizibile cu 3 . Aratati ca suma patratelor lor este divizibila cu 2013 . Ma puteti ajuta ?

Răspuns :

Caz1) n=3*c+1 => n^2=(3*c+1)(3*c+1) => n^2=9*c^2+6*c+1 => n^2=3*(3*c^2+2*c)+1
Caz2) n=3*c+2 => n^2=(3*c+2)(3*c+2) => n^2=9*c^2+12*c+4 => n^2=3*(3*c^2+4*c+1)+1
N1^2=3*C1+1
N2^2=3*C2+1
N2013^2=3*C2013+1
Analizam  numerele ce nu sunt divizibile cu 3 , si atunci avem:

In cazul 1: x= 3k+1 ⇒
x²=9k²+6k+1 = 3(k²+2k) +1 = 3*p+1
si
 In cazul 2:  x=3k+2 ⇒
 x²=9k²+12k+4 =9k²+12k+3+1=3(k²+4k+1) +1=3*q+1

Daca adunam numerele de tip x² , vom avea  2013 numere, si, indiferent cate sunt in cele 2 cazuri, avem:

 Suma celor 2013 numere =3*( p+q +......)+1*2013
=3*(p+q+...)+3*671=
=3*[(p+q)+671]  este divizibila cu 3.

Ask Alte intrebari