1)Daca numerele nu sunt divizibile cu 13 sunt de forma:
Caz 1: a= 3n+1 => a²=9n²+6n+1 = 3(n²+2n) +1 = 3*m+1
sau Caz 2: a=3n+2 => a²=9n²+12n+4 =9n²+12n+3+1=3(n²+4n+1) +1=3*p+1
Daca adunam cei 2013 numere gen a² , vom avea indiferent cate sunt in cazul 1, sau in cazul 2:
Suma=3*( m+p+......)+1*2013 =3*(m+p+...)+3*671=3*[(m+p)+671] este divizibila cu 3.
2) O prima ipoteza pe care o luam in calcul este ca p nu poate fi
par, deoarece numerele pare nu sunt prime (mai putin 2, dar 2²+2²≠2015
deci iese din discutie)
Analizam fiecare termen :
p²
un patrat perfect , daca p nu este par , se termina in 1, 5 si 9.
2 la puterea p
2 la orice putere impara se termina in 2 sau 8 .
Analizam ultima cifra a sumei: p²+2la puterea p
1+2=3
5+2=7
9+2=..1
1+8=9
5+8=..4
9+8=..7
deci, nici o suma nu se termina in 5, asadar nu poate fi egal cu 2015, deci :
ecuatia p²+2la puterea p=2015 nu are solutii.
