[tex]I_n= \int\limits^1_0 {x^ne^{2x}} \, dx [/tex]
b) [tex]2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^2[/tex]
[tex]I_{n+1}= \int\limits^1_0 {x^{n+1}*e^{2x}} \, dx [/tex]
Facem integrarea prin părţi:
[tex]\int\limits^1_0 {x^{n+1}*\frac{e^{2x}}{2}} =\frac{1}{2} x^{n+1}*e^{2x}|_{0}^{1} - \frac{1}{2}\int\limits^1_0 {(x^{n+1})'*e^{2x}}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}*e^2 - \frac{1}{2}*\int\limits^1_0 {(n+1)x^n*e^{2}}=\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}(n+1)I_n[/tex]
În cerinţă avem [tex]2I_{n+1}[/tex], deci înmulţim chestia de mai sus cu 2:
[tex]2I_{n+1}=e^{2}-(n+1)I_n[/tex]
=> [tex]2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^{2}-(n+1)I_n + (n+1)I_n=e^2[/tex] qed
c) Ne folosim de punctul anterior, de unde îl scoatem pe [tex](n+1)I_n[/tex]:
[tex]2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2 => (n+1)I_n = e^2 - 2I_{n+1}[/tex]
Îl înlocuim în acea inecuaţie:
[tex]1 \leq e^2 - 2I_{n+1} \leq e^2[/tex]
Faptul că [tex]e^2 - 2I_{n+1} \leq e^2[/tex] este evident că e adevărat, deci rămâne doar să mai demonstrăm prima parte, adică:
[tex]1 \leq e^2-2I_{n+1}[/tex] | Îl separăm pe [tex]2I_{n+1}[/tex]
[tex]2I_{n+1} \leq e^2-1[/tex]
Acum ne construim acea formă din integrala iniţială pornind de la faptul că x∈[0,1]:
[tex]0 \leq x \leq 1 [/tex] | ridicăm la puterea (n+1) termenii
[tex]0^{n+1}\leq x^{n+1}\leq 1^{n+1}[/tex]
[tex]0\leq x^{n+1}\leq 1[/tex] | Înmulţim cu e^{2x}
[tex]0 \leq x^{n+1}*e^{2x}\leq e^{2x}[/tex] | Aplicăm integrală de la 0 la 1 după care înmulţim cu 2:
[tex]0 \leq 2 \int\limits^1_0 {x^{n+1}*e^{2x}} \, dx \leq 2\int\limits^1_0{e^{2x}} \, dx[/tex]
Prima parte nu ne interesează, deci rămânem cu:
[tex]2\int\limits^1_0 {x^{n+1}*e^{2x}} \, dx \leq 2\int\limits^1_0{e^{2x}} \, dx[/tex] (unde termenul din stânga reprezintă [tex]2I_{n+1} [/tex].
=> [tex]2I_{n+1} \leq 2\int\limits^1_0{e^{2x}} \, dx= e^2-1[/tex] qed
