Raza cercului circumscris unui triunghi oarecare, cu aria S şi laturile a,b şi c = [tex]\frac{abc}{4S}[/tex]
Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral de latură X este = [tex]\frac{X \sqrt{3}}{3}[/tex] .
1)
a) AB=AC=BC=9 (deci este echilateral) => Raza =[tex]\frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3 \sqrt{3}[/tex]
Pentru punctul b, folosesti formula lui Heron pentru a afla S (adică aria triunghiului)
[tex]S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
unde p= semiperimetrul
[tex]p= \frac{20 + 20 + 24}{2} = 32 //
=> S= \sqrt{(32-20)(32-20)(32-24)} = \sqrt{12*12*8} = 24 \sqrt{2} //
=> Raza = \frac{20*20*24}{4*24 \sqrt{2}} = 50 \sqrt{2} [/tex]
Pentru punctul c, ai aceeasi metodă:
[tex]p= \frac{12+16+20}{2} = 24 //
S= \sqrt{(24-12)(24-16)(24-20)} = 8 \sqrt{6} //
=> Raza = \frac{12*8*4}{4*8\sqrt{6}} = 2 \sqrt{6} [/tex]
Raza cercului circumscris unui triunghi oarecare, cu aria S şi laturile a,b şi c = [tex]\frac{abc}{4S} [/tex]
2) Raza cercului circumscris unui triunghi = [tex]\frac{abc}{4S}[/tex]
a= BC
b= AC
c= AB
Aria triunghiului dreptunghic = [tex]\frac{cateta 1 * cateta 2}{2} = \frac{bc}{2}[/tex]
Înlocuim formula ariei triunghiului dreptunghic în formula razei:
[tex]Raza = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4 \frac{bc}{2}} = \frac{abc}{2bc} = \frac {a}{2}[/tex]
Ştim că raza = 20, deci [tex]\frac{a}{2} = 20 => a = 40[/tex].
Dacă a=40, b=32, putem afla latura 'c' cu teorema lui Pitagora:
[tex]c= \sqrt{40^2-32^2} = 24 [/tex]
a=40, b=32, c=24 => perimetrul = 96
De asemenea, din moment ce triunghiul este dreptunghic, centrul cercului circumscris se află pe ipotenuză, la mijlocul acesteia, deci jumătate din ipotenuză reprezintă raza, ceea ce ar fi uşurat mult mai mult calculele.
b) Conform definiţiei, centrul cercului circumscris unui triunghi se află la intersecția celor trei mediatoare (perpendiculare pe mijlocul fiecărei laturi) ale triunghiului respectiv. În triunghiul dreptunghic, cum am spus şi mai sus, centrul cercului circumscris se află pe ipotenuză, la mijlocul acesteia, deci jumătate din aceasta reprezintă raza. Consider 'D' = mijlocul ipotenuzei (BC), deci centrul cercului circumscris. Înălţimea dusă din acesta pe latura AC reprezintă mediatoarea, care împarte segmentul în două părţi egale. Îţi recomand să te uiţi în imaginea ataşată ca să înţlegi mai bine:
Avem triunghiul DQC, dreptunghic în Q, unde DC= raza = 20 şi CQ = 1/2 AC = 16. Aplicăm Pitagora şi obţinem distanţa de la D la Q, adică de la centrul cercului la AC. La fel şi pentru cealaltă latură.
Presupun că există şi alte metode, dar e singura care mi-a venit în minte.
