1) raspuns 8, adica b)
2) raspuns 9, adica c)
3) raspuns 25, adica a)
4) raspuns 1, adica c)
5) raspuns 3/5=0,6 adica c)
[tex] \frac{ \sqrt{5}- \sqrt{4} }{(\sqrt{5}- \sqrt{4})(\sqrt{5}+ \sqrt{4})} = \frac{ \sqrt{5}- \sqrt{4}}{1} = \sqrt{5}- \sqrt{4}[/tex]
idem la fiecare, pana la sfarsit, cand se va obtine:
[tex] \sqrt{5}- \sqrt{4}+ \sqrt{6}- \sqrt{5}+ \sqrt{7}- \sqrt{6}+...+ \sqrt{100}- \sqrt{99}=\sqrt{100}-\sqrt{4}= \\ =10-2=8[/tex]
la ex 2) avem:
[tex]U(2007 ^{2010})=U(7 ^{2010})[/tex]
[tex] U(7^{1}) =7 \\ U(7^{2}) =U(7^{1}) *7=9 \\U(7^{3}) =U(7^{2})*7 =U(9*7)=3 \\U(7^{4}) =U(7^{3})*7 =U(3*7)=1 \\U(7^{5}) =U(7^{4})*7 =U(1*7)=7 \\[/tex]
deci la fiecare a patra putere, se repeta ultima cifra
puterea 2010 o impartim la 4, pentru a afla care va fi ultima cifra: 2010:4=502+2, asta inseamna ca ultima cifra se repeta dupa secventa : 7 ; 9; 3 ; 1, deci
[tex] U(2007^{2010})=9[/tex]
la 3) se rezolva astfel:
numerele a si b sunt invers proportionale cu 3 si 8, adica
[tex]3a=8b[/tex], ceea ce scris sub forma de raport este [tex] \frac{a}{8} = \frac{b}{3} =k[/tex]
atunci: [tex]a=bk[/tex] si [tex]b=3k[/tex]
[tex]a+b=8k+3k=11k=55[/tex] rezulta [tex]k=5[/tex]
[tex]a-b=8k-3k=5k=5*5=25[/tex]
la 4) expresia se poate scrie astfel : [tex]E(x)=4 x^{2} +12x+15=4 x^{2} +12x+9+6= (2x+3)^{2} +6[/tex]
Valoarea cea mai mica a expresiei este cand [tex]2x+3[/tex] are valoarea cea mai mica. Punem conditia ca [tex]2x+3=0[/tex] si avem ca pentru [tex]x=- \frac{3}{2} [/tex] expresia ia valoarea cea mai mica. Cea mai apropiata valoarea a lui [tex]x[/tex] de [tex]- \frac{3}{2} [/tex] dintre cele 4 valori date este 1
la 5) se afla intersectia graficului functiei cu axele de coordonate, adica:
[tex]f(0)=3[/tex] si [tex]f(x)=0[/tex], adica [tex] \frac{3}{4} x+3=0[/tex], [tex] \frac{3}{4}x=-3 [/tex], [tex]x= \frac{-3*4}{3}=-4 [/tex]
Deci avem punctul [tex]A(-4;0)[/tex] si [tex]B(0;3)[/tex]
In triunghiul BOA dreptunghic in O avem catetele [tex]OB=3[/tex] si [tex]OA=4[/tex]. Aplicam TP si obtinem :
[tex] AB^{2} = OA^{2} + OB^{2}= 3^{2} + 4^{2} = 9+16=25 \\ AB=5[/tex]
Si avem [tex]sinBAO= \frac{cateta.opusa}{ipotenuza}= \frac{OB}{AB}= \frac{3}{5}=0,6 [/tex]
